Матрица в математике что это такое


Матрицы и определители

    Виды матриц.
  • Матрица A размера m×n — это прямоугольная таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцах где aij (i =1, …, m; j =1, …, n) — это элементы матрицы A. Первый индекс i — это номер строки, второй индекс j — это номер столбца, на пересечении которых расположен элемент aij. Сокращённое обозначение матрицы A=(aij)m×n.
  • Порядок матрицы — это число ее строк или столбцов.
  • Главная диагональ квадратной матрицы — это диагональ, идущая из левого верхнего в правый нижний угол.
  • Прямоугольная матрица — это матрица, у которой число строк не равно числу столбцов.
  • Квадратная матрица — это матрица у которой число строк равно числу столбцов:
  • Матрица-столбец — это матрица, у которой всего один столбец:
  • Матрица-строка — это матрица, у которой всего одна строка:
  • Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю.
  • Единичная матрица — это диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице:
  • Матрица квадратная диагональная:
  • Треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю.
  • Матрица верхняя треугольная:
  • Матрица нижняя треугольная:
  • Нулевая матрица — это матрица, все элементы которой равны 0:
    Операции над матрицами.
  • Равенство матриц. Две матрицы A (aij), B (bij) совпадают |A=B|, если совпадают их размеры и соответствующие элементы равны, то есть при всех i, j aij=bij.
  • Сложение матриц. Суммой двух матриц A=(aij)m×n и B=(bij) m×n одинаковых размеров называется матрица C=(cij)m×n=A+B тех же размеров, элементы которой определяются равенствами cij=aij+bij. Пример 1.
  • Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A=(aij)m×n на число λ ∈ R называется матрица B=(bij)m×n=λA, элементы которой определяются равенствами bij=λaij. Пример 2.
  • Умножение матриц. Произведением матрицы A=(aij)m×k на матрицу B=(bij)k×n называется матрица C=(cij)m×n=A· B размера m×n, элементы которой cij определяются равенством cij=ai1b1j+ai2b2j+ … aikbkj. Таким образом, элемент матрицы C=A·B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. Пример 3.
  • Транспонированные матрицы. Транспонированием матрицы А называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается через A' или AT. Пример 4. Квадратная матрица называется симметричной, если A=A', то есть для элементов выполнены равенства aij=aji.
  • Обратная матрица. Квадратная матрица n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, |A| = 0, и невырожденной, если |A| ≠ 0. Матрица А-1 называется обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется соотношение: Если матрица А-1 не вырождена, то существует, и притом единственная, обратная матрица А-1, равная , где АV = Aij — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы, стоящих на тех же местах). 1) 2) 3) 4)
  • Алгоритм нахождения А-1 заключается в следующих пунктах: 1) Находим det A, проверяем det A ≠ 0. 2) Находим Mij — все миноры матрицы A. 3) Определяем 4) Строим матрицу алгебраических дополнений и транспонируем: 5) Делим каждый элемент матрицы на det A: Пример 5.
  • Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы: 1) перестановка строк (столбцов);

    2) умножение строки (столбца) на число α ≠ 0;

    3) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.
  • Решение матричных уравнений. Матричное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную матрицу X и известные матрицы A, B, …, . Простейшие типы матричных уравнений:

    1) . Матрица A – квадратная и невырожденная,

    |A| ≠ 0, следовательно, существует обратная матрица A-1. Умножим уравнение на A-1 слева: 2) . Матрица A – квадратная, |A| ≠ 0. Умножим уравнение на A-1 справа: . 3) . Матрицы A и B – квадратные, |A| ≠ 0, |B| ≠ 0. Умножим уравнение на A-1 слева: Умножим уравнение на B-1 справа: .
  • Ранг матрицы. Ранг матрицы A — это число, равное максимальному порядку отличных от нуля миноров. Mk этой матрицы: Матрицы называются эквивалентными, что обозначается

    A ∼ B, если .

    Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.
  • Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице A элемент aij ≠ 0, тогда M1 ≠ 0 и r(A) ≥ 1. Окаймляем этот элемент элементами соседнего столбца и соседней строки (например, (j+1)–го столбца и (i+1)–й строки), получаем минор 2-го порядка: . Если M2, то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то r(A) = 1; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то r(A) ≥ 1. Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M2 и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: Mr ≠ 0, но все Mr+1 = 0. Пример 6.
  • Метод элементарных преобразований. Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.

    К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие: транспонирование; перестановка строк (столбцов); умножение строки (столбца) на число α ≠ 0; прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число; отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.

    Для определения ранга матрицы A методом элементарных преобразований следует: 1) Переставить строки и столбцы так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был ненулевой элемент.

    2) Все элементы первого столбца, кроме a11, обратить в ноль с помощью элементарных преобразований строк:

    3) Переставить строки со 2–й по m и столбцы со 2–го по n так, чтобы a22 ≠ 0. Повторить операцию (2) со вторым столбцом: во втором столбце все элементы, кроме a12 и a22, обратить в ноль. Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:

    Тогда ранг матрицы A равен: rang A = rang Ã.
    Определитель матрицы.
  • Определитель квадратной матрицы. Определитель первого порядка представляет собой число.

    Определитель квадратной матрицы порядка n A=(aij)m×n обозначается символами:

    Определитель квадратной матрицы A второго порядка — это число, равное: Определитель квадратной матрицы А третьего порядка — это число, равное: . Пример 7.
  • Правило треугольников (правило Саррюса): Знаки (+) и (–) соответствуют знакам определенных слагаемых, входящих в определитель, элементы определителя изображаются кружками, а соответствующие произведения — отрезками или треугольниками.
  • Алгебраическое дополнение A=(aij) элемента aij — это определитель n-1 порядка, полученный из |A| вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, взятый со знаком (-1)i+j.
    Свойства определителей.
  1. Определитель квадратной матрицы А не меняется при транспонировании: |AT|=|A|.
  2. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель |A| меняет знак:
  3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
  4. Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению определителя на это число:
  5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю (вытекает из предыдущего свойства при (k = 0):
  6. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A| пропорциональны, то определитель равен нулю.
  7. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей:
  8. Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя |A| прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится:
  9. Определитель |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:
  10. Определитель произведения матриц А и В равен произведению их определителей: .
    Определители n–го порядка.
  • Минор Мij или Δij элемента аij ( иначе – дополнительный минор элемента аij) определителя n-го порядка — это определитель (n–1) порядка, полученный из исходного вычеркиванием i–й строки и j–го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.
  • Алгебраическое дополнение Аij элемента аij — это его минор со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, Аij=(-1)i+jMij или Аij=(-1)i+jΔij. Пример 8. Для определителей n-го порядка имеют место все перечисленные выше свойства определителей.
  • Правило выбора знака перед минором в алгебраическом дополнении:
  • Определитель n-го порядка |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.
  • Метод сведения к треугольному виду. Используя свойства (1–9), определитель преобразуют к виду, когда элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. Преобразованный таким образом определитель равен произведению элементов, лежащих на главной диагонали.

matematika.electrichelp.ru

Матрицы: определение и основные понятия.

Определение.

Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами.

Количество строк и столбцов задают размеры матрицы.

Обозначение

Матрица - это таблица данных, которая берется в круглые скобки:

Матрица обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавитв. Матрица содержащая n строк и m столбцов, называется матрицей размера n×m. При необходимости размер матрицы записывается следующим образом: An×m.

Элементы матрицы

Элементы матрицы A обозначаются aij, где i - номер строки, в которой находится элемент, j - номер столбца.

Пример.

Элементы матрицы A4×4:
A =  4  1  -7  2 
 -1  0  2  44 
 4  6  7  9 
 11  3  1  5 

a11 = 4

Определение.

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Определение.

Если хотя бы один из элементов строки матрицы не равен нулю, то строка называется ненулевой.

Пример.

Демонстрация нулевых и ненулевых строк матрицы:

www.mathprofi.ru

Виды матриц.

Определение.

Квадратной матрицей называется матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов (размера n×n), число n называется порядком матрицы.

Пример.

 4  1  -7 

ru.onlinemschool.com

Матрица, виды матриц. Операции над матрицами. Элементы матрицы. Обратная матрица

Содержание

Введение  
Раздел 1 Элементы линейной алгебры  
1.1 Матрица, виды матриц. Операции над матрицами. Элементы матрицы. Обратная матрица  
1.2 Решение систем линейных уравнений  
Раздел 2. Элементы векторной теории  
2.1 Приложение векторной теории к решению задач  
2.2 Прямая линия и её уравнения  
2.3 Решение систем линейных неравенств графическим методом  
Раздел 3 Математическое программирование  
3.1 Основные определения  
3.2 Выпуклые множества точек  
3.3 Примеры математических моделей задач линейного программирования  
3.3.1 Задача об использовании или распределении ресурсов  
3.3.2 Задача составления смесей  
3.3.3 Транспортная задача  
3.4 Каноническая или основная задача линейного программирования  
3.5 Методы решений задач линейного программирования  
3.5.1 Графический метод  
3.5. 2 Симплекс-метод  
3.6 Двойственность в линейном программировании  
3.7 Транспортная задача  
3.7.1 Условия оптимальности плана транспортной задачи  
3.7.2 Построение системы потенциалов и проверка плана на оптимальность  
3.7.3 Перераспределение поставок  
3.7.4 Открытая транспортная задача  
Список использованных источников  

Раздел 1 Элементы линейной алгебры

Матрица, виды матриц. Операции над матрицами. Элементы матрицы. Обратная матрица

Определение: Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины столбцов.

aij- элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце.

Основные виды матрицы:

¾ квадратная (это матрица с равным числом столбцов и строк);

¾ транспонированная (можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица A размера при этом преобразовании станет матрицей AT размерностью );

¾ единичная (квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а остальные равны нулю)

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

¾ сложение матриц, имеющих один и тот же размер;

¾ умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую строк);

¾ в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы).

Рассмотрим операции над матрицами более подробно.

1. Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

2. Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

3. Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго (умножение строки на столбец).

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность , матрица B — , то размерность их произведения AB = C есть . Смотри рис.1.

Рисунок 1 - Правило умножения двух матриц

Пример 1: Найти А+2В, если , .

Решение:

Пример 2: Найти , если ,

Решение:

Пример 3: Решить матричное уравнение: ,

,

Решение: , ,

Определение: Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или ΔA.

Формула для вычисление определителя второго порядка:

Формулы для вычисление определителя третьего порядка:

а) разложение по элементам первой строке:

= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31;

б) по правилу звездочки (или Саррюса)

Основные свойства определителей.

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.

Свойство 2. При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.

Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.

Свойство 5. Определитель, две строки которого пропорциональны, равен нулю.

Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается на —1.

Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Определение 8. Минором, соответствующим данному элементу aij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i-ой строки и j-го столбца. Миноры соответствующие данному элементу aij будем обозначать Mij.

Пример 4: минором M12, соответствующим элементу a12, будет определитель , который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор Mij, умноженный на (–1)i+j. Алгебраическое дополнение элемента aij обозначается Aij.

Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством Aij = (–1)i+jMij.

Например,

Пример 5: Дан определитель . Найти A13, A21, A32.

Решение:

Определение. Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел). Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:

1. Найти определитель матрицы A.

2. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице.

3. Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы AТ и составить матрицу, элементами которой являются числа Aij.

4. Умножить матрицу, полученную в пункте 3 на

Пример 6: Найти обратную матрицу А-1, если и выполнить проверку.

Решение:

, , аналогично , , , , , , ,

, . Для проверки используется формула: , где .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 2

Дана система:

1. Метод Гаусса. Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы, и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

¾ перестановка строк или столбцов;

¾ умножение строки на число, отличное от нуля;

¾ прибавление к одной строке другие строки.

2. Матричный метод. Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов:

, получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B

Пример 7: Решить систему методом Гаусса.

решая систему с конца, получим z=1, y=1, x=1

Пример 8: Решить систему методом обратной матрицы

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 3

Приложение векторной теории к решению задач

Координаты вектора:

Длина вектора:

Координаты C - середины отрезка AB: , ,

Направляющие конусы вектора :

.

Косинус угла между векторами и можно найти по формуле:

Для нахождения площади треугольника ABC используется геометрический смысл модуля векторного произведения векторов и , на которых построен треугольник ABC:

Для нахождения объема пирамиды ABCD, используется геометрический смысл смешанного произведения векторов , и , на которых построена пирамида:

Пример1: Даны точки: A(4; -3; 5), B(6; -2; 3;), C(1; 2; 8), D(4; -2; 1).

Найти: 1) координаты вектора , его длину и направляющие косинусы; 2) угол между векторами и ; 3) площадь треугольника ABC; 4) объем пирамиды ABCD. Сделать чертеж.

Решение: 1)Найдем координаты вектора по формуле

Длину вектора вычислим по формуле ,

где X, Y, Z – координаты вектора.

Имеем: .

Направляющие конусы вектора найдем по формулам:

. Получаем:

2) Косинус угла между векторами и можно найти по формуле:

Найдем координаты вектора и его длину:

.

Таким образом, .

Тогда .

3) Для нахождения площади треугольника ABC используем геометрический смысл модуля векторного произведения векторов и , на которых построен треугольник ABC:

Найдем координаты векторов , а затем векторное произведение векторов:

. Тогда

4) Найдем объем пирамиды ABCD, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов , и , на которых построена пирамида:

.

Найдем смешанное произведение векторов:

;

Чертеж сделать самостоятельно.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 4

Общее уравнение прямой: Аx+Вy+С=0

Векторное уравнение прямой: А(x-x0)+В(y-y0)+С=0

Каноническое уравнение прямой:

Уравнение прямой в отрезках:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y=kx+b, k=tgα=y0/x0

y-y0=k(x-x0)

Уравнение прямой проходящей через две точки:

Угол между двумя прямыми:

Условие параллельности двух прямых: , ,

Условие перпендикулярности двух прямых: , ,

Расстояние d от точки М0 (x0;y0) до прямой Аx+Вy+С=0:

Пример 2: Даны вершины треугольника A(3;4), B(6;2), C(3;1/2). Составить: 1) уравнение стороны AB; 2) длину высоты треугольника, проведенной из вершины C; 3) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно прямой AB; 4) внутренний угол B.

Решение: Сделаем чертеж (Рис. 2)

Рисунок 2 – Чертеж задачи

1) По формуле: ; AB: => -2(x-3)=3(y-4) => -2x+6=3y-12 => -2x-3y+18=0

2) Проведем высоту CD. Длина отрезка CD – расстояние от точки C до прямой AB, так как CD ┴ AB => по формуле , где ( - координаты точки C, а коэффициенты A, B, C – из уравнения прямой AB.

3) Проведем прямую KC ║ AB. Из уравнения AB выразим y и найдем K1.

=> K1= . Так как KC ║ AB =>

K2 = K1 = и KC проходит через точку C (3;1/2) =>

- это уравнение KC

4) Внутренний угол B – это угол между прямыми AB и BC.

По формуле: ;

Так как BC: => => =>

;

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 5

Система состоит из неравенств от двух переменных:

Для решения системы необходимо:

1. Для каждого неравенства выписать уравнение, соответствующее данному неравенству.

2. Построить прямые, являющиеся графиками функций, задаваемых уравнениями.

3. Для каждой прямой определить полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого взять произвольную точку, не лежащую на прямой, подставить ее координаты в неравенство. если неравенство верное, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство неверное, то полуплоскость по другую сторону прямой является множеством решений данного неравенства.

4. Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.

Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместна. В противном случае говорят, что система совместна. Решений может быть конечное число и бесконечное множество. Область может представлять собой замкнутый многоугольник или же быть неограниченной.

Пример 3. Решить графически систему:

Рассмотрим уравнения x + y–1 = 0 и –2x – 2y + 5 = 0, соответствующие неравенствам. Построим прямые, задающиеся этими уравнениями (Рис. 3).

Рисунок 3 – Изображение прямых

Определим полуплоскости, задаваемые неравенствами. Возьмем произвольную точку, пусть (0; 0). Рассмотрим x+ y– 1 ≤ 0, подставим точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. значит, в той полуплоскости, где лежит точка (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства. Подставив эту точку (0; 0), во второе, получим: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), –2x – 2y + 5≥ 0, а нас спрашивали, где –2x – 2y + 5 ≤ 0, следовательно, в другой полуплоскости – в той, что выше прямой.

Найдем пересечение этих двух полуплоскостей. Прямые параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, значит система данных неравенств решений не имеет, несовместна.

Пример 4. Найти графически решения системы неравенств:

1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые (Рис. 4).

x + 2y– 2 = 0 x 2 0

y 0 1

y – x – 1 = 0 x 0 2

y 1 3

y + 2 = 0; y = –2.

Рисунок 4 – Изображение прямых

2. Выбрав точку (0; 0), определим знаки неравенств в полуплоскостях:

0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. x + 2y– 2 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;

0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y –x– 1 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;

0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуплоскости выше прямой.

3. Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых

Таким образом, А(–3; –2), В(0; 1), С(6; –2).

Рассмотрим еще один пример, в котором получившаяся область решения системы неограничена.

Пример 5. Решить графически систему

Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые (Рис. 5).

Рисунок 5 – Изображение прямых

x + y – 1 = 0 x 0 1

y 1 0

y – x – 1 = 0 x 0 –1

y 1 0

Определим знаки в полуплоскостях. Выберем точку (0; 0):

0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y – x – 1 ≤ 0 ниже прямой;

0 + 0 – 1 ≤ 0, т.е. x + y – 1 ≤ 0 ниже прямой.

Пересечением двух полуплоскостей является угол с вершиной в точке А(0;1). Эта неограниченная область является решением исходной системы неравенств.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 6

Математическое программирование – раздел математики, в котором изучаются и разрабатываются теоретические положения и конкретные численные методы для решения планово-экономических задач (или на языке математики – экстремальных задач с ограничениями).

Определение 1. Функция F, экстремальное значение которой необходимо найти, называется целевой или ценовой (или показателем эффективности).

Характер экстремума обозначается следующим образом: .

Определение 2. Условие, описывающее реальную ситуацию и представленное в виде математических выражений, называют системой или областью ограничений.

Определение 3. Целевая функция в совокупности с системой ограничений, выраженные математическими символами, образуют математическую модель задачи. В математическую модель, как правило, входят неизвестные величины, определяющие характер целевой функции и системы ограничений.

Определение 4. Группы чисел, которые, будучи подставленными вместо неизвестных, дают конкретное числовое значение целевой функции, называются решением или планом задачи.

Определение 5. Решение (или план) называется допустимым, если все его значения удовлетворяют системе ограничений.

Определение 6. Решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным.

В зависимости от вида целевой функции и математических выражений, входящих в систему ограничений, математическое программирование разделяют на разные типы.

1. Если целевая функция и все выражения системы ограничений являются линейными (содержат неизвестные только первой степени), то математическое программирование, рассматривающее такие задачи, называется линейным программированием.

2. Если в математической модели целевая функция или хотя бы одно из ограничений системы нелинейны, программирование называется нелинейным.

3. Если на искомое решение налагается условие целочисленности неизвестных, то такой раздел называется целочисленное программирование.

4. Если известно, что за конкретный промежуток времени параметры математической модели изменяются, то такое программирование называется динамическим.

5. Если параметры математической модели являются не закономерными, а случайными величинами, то такое программирование называется стохастическим.

6. Если в математической модели имеется несколько целевых функций для одних и тех же условий, то такое программирование называется многокритериальным.

7. Если в математическую модель входят величины, содержащие бесчисленное множество переменных, то такое программирование называется бесконечномерным.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 7

Определение 1. Множество точек плоскости или трехмерного пространства называется выпуклым, если любые две точки этого множества можно соединить отрезком прямой, полностью лежащим в данном множестве (см. рис.6).

Рисунок 6 – Изображение множеств

Теорема 1. Пересечение конечного числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Следствие. Пересечение конечного числа выпуклых множеств - выпуклое множество.

Определение 2. Точка множества называется внутренней, если существует сколь угодно малая ее окрестность, содержащая только точки данного множества.

Определение 3. Точка множества называется граничной, если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие данному множеству, так и не принадлежащие ему (см. рис. 7).

Определение 4. Граничная точка выпуклого множества называется угловой, если через нее можно провести отрезок, все точки которого не принадлежат данному множеству (см. рис. 7).

Различные по форме множества могут иметь конечное или бесконечное количество угловых точек.

Рисунок 7 – Изображение точек множества

Пример 1. Определить угловые точки множества, заданного условиями .

Решение. Уравнение имеет бесчисленное множество решений – множество точек, лежащих на прямой. А условие определяет точки этой прямой, лежащие только в. первой четверти координатной плоскости (рис. 8).

Множество точек отрезка АВ представляет собой выпуклое множество допустимых решений с двумя угловыми точками А(0;6)и В(4;0).

Рисунок 8 – решение примера 1

Пример 2. Определить угловые точки множества: , при .

Решение. Множество допустимых решений – луч АС.

Здесь лишь одна угловая точка A (3,0) соответствует единственному допустимому базисному решению (см. рис. 9).

Рисунок 9 – решение примера 2

Как правило, система ограничений в задачах математического программирования представлена в виде системы неравенств, решение каждого из которых занимает определенную часть плоскости (пространства).

Теорема 2. Решением неравенства или является одна из полуплоскостей, на которые прямая делит всю координатную плоскость.

Пример 3. Построить множество точек, удовлетворяющих неравенству

Решение. Строим прямую (рис. 10). Она разбила всю плоскость на две полуплоскости, одна из которых и является решением неравенства. Для проверки выберем точку О (0; 0) и ее координаты подставим в исходное неравенство. Получим истинное неравенство . Следовательно, полуплоскость, содержащая начало координат, и является решением.

Рисунок 10 – решение примера 3

Пример 4. Построить множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Решение. Строим прямую (рис. 11).

Рисунок 11 – решение примера 4

Прямая разделила всю плоскость на две полуплоскости, одна из которых и является решением неравенства. Для проверки выберем, например, точку А (4; 1) и ее координаты подставим в исходное неравенство. Получим ложное неравенство . То есть полуплоскость, содержащая точку А (4; 1), не является решением. Следовательно, решением является другая полуплоскость, не содержащая этой точки.

Замечание. Для того чтобы найти множество точек, удовлетворяющих системе линейных неравенств, необходимо решить каждое из неравенств и затем найти пересечение этих решений.

Пример 5. Построить множество точек, удовлетворяющих системе неравенств:

Строим полуплоскости, соответствующие каждому из неравенств (1)-(6) (рис. 12). Пересечением их решений является многоугольник АFЕDСВ. Угловые точки здесь - вершины многоугольника.

Рисунок 12 – решение примера 5

Задачи для самостоятельного решения

1. Какие из множеств, изображенных на рис. 13, являются выпуклыми?

Рисунок 13 – Изображение множеств

2. Проверить, будут ли выпуклыми данные множества:

а) отрезок прямой;

б) круг

в) сфера ;

г) отрезок и точка, лежащая вне этого отрезка на плоскости;

д) два отрезка, имеющие одну общую точку;

е) два треугольника, имеющие одну общую точку/

3. Выяснить, будут ли выпуклы данные множества. Найти угловые точки данных множеств:

а)

б)

в)

5. Найти вершины многогранных множеств, ограничения для которых приведены в условиях:

а)

б)

в)

г)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 8

Пусть некоторое предприятие выпускает n видов изделий, для которых необходимо k видов ресурсов, чьи запасы имеются в количествах . Для выпуска каждого вида изделия известны технологические коэффициенты означающие количество i-го ресурса, затрачиваемого на выпуск j-го изделия. Кроме того, известна прибыль , получаемая от реализации j-го вида изделия. На планируемый период все коэффициенты остаются неизменными. Составить такой план выпуска изделий, при котором прибыль от реализации продукции была бы максимальной.

Это условие задачи, представленное в текстовой форме. Составим математическую модель задачи.

Пусть - количество единиц изделий j-го вида. Тогда прибыль, полученная от реализации всего количества произведенной продукции, будет выражена в виде целевой функции F(х). А ограниченные ресурсы и технологические коэффициенты позволяют построить систему ограничений. Получим математическую модель задачи:

Пример. Мебельная фабрика выпускает 3 вида изделий: шкафы, столы и стулья. В процессе их изготовления используются фрезерные, сверлильные и шлифовальные станки.

Причем в процессе изготовления шкафа фрезерный станок работает 0,25 ч, сверлильный - 0,18 ч, шлифовальный - 0,24 ч; стола: фрезерный - 0,2 ч, сверлильный - 0,13 ч, шлифовальный - 0,19 ч; стула: фрезерный 0,3 ч, сверлильный – 0,11 ч, шлифовальный -0,14 ч. Ресурс рабочего времени станков: фрезерного- 250 ч, сверлильного - 300 ч, шлифовального - 320 ч. Согласно плановому заданию, необходимо изготовить не менее 150 шкафов, столов - более 200, стульев - более 400. Прибыль за каждый шкаф составляет 5 ден. eд., за стол - 3 ден. ед., за стул - 2 ден. ед.

Требуется составить такой план выпуска изделий, при котором требуемые объемы по каждому виду изделий были бы выполнены, ресурсы времени по каждому виду оборудования не превышены, полученная прибыль была бы максимальной.

Решение. Пусть - количество шкафов, - количество столов, - количество стульев. Построим математическую модель задачи.

Система ограничений примет вид

Прибыль (целевая функция) составляет:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 9

Пусть для некоторых нужд, например кормления, требуется составить 2 вида корма, стоимость единицы каждого из которых и . В каждом виде корма должны присутствовать питательные вещества , для которых известно, что в норме их должно быть не менее единиц соответственно. Кроме того, известны технологические коэффициенты - количество i-го питательного вещества в j-м виде корма. Требуется составить такой рацион питания, при котором стоимость корма была наименьшей, а количество питательных веществ не было бы меньше нормы.

Пусть - количество единиц корма каждого вида.

Пример. На свиноферме производится откорм свиней. Известно, что каждая должна получать не менее 6 единиц вещества , не менее 8 - , не менее 12 - . Существуют 3 вида кормов.

Информация по стоимости этих кормов и содержанию единиц каждого вещества в единице корма находится в таблице:

Вид корма Вещества Стоимость вида корма
2 1
2
1,5 2,5

Требуется обеспечить наиболее дешевый рацион питания животных в виде комбикорма.

Решение. Пусть - количество единиц корма каждого вида. Тогда математическая модель задачи имеет вид:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 10

В таких задачах, как правило, рассматриваются проблемы экономичной перевозки грузов или рационального распределения трудовых ресурсов по рабочим местам.

Пусть два поставщика и , имеющих запасы груза в объеме должны переправить его потребителям . которым требуются объемы . Известны стоимости перевозок от каждого поставщика к каждому потребителю (см. таблицу). Требуется составить такой план перевозок, при котором все грузы были бы вывезены, все потребители - удовлетворены, а стоимость перевозок была бы минимальной.

    Потребители
Поставщики
   

- матрица стоимостей перевозок.

Не вдаваясь пока в специфику транспортных задач, предположим, что количество имеющихся и количество требуемых грузов совпадает.

Пусть - количество единиц груза, перевозимое от i-го поставщика j-му потребителю. Стоимость перевозок должна быть минимальной. Учитывая запасы поставщиков и нужды потребителей, составляем систему ограничений. Тогда математическая модель задачи имеет вид

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 11

Основная задача линейного программирования отличается от задачи программирования общего вида тем, что ограничения в ней заданы в виде системы уравнений:

Из курса линейной алгебры известно, что такая система либо не имеет решений, либо имеет единственное решение или бесчисленное множество решений. Будем полагать, что оптимальное решение единственно, хотя на практике их может быть несколько.

Если система не имеет решений, ее анализируют повторно, в соответствии с имеющейся конкретной практической ситуацией. Те уравнения, которые являются причиной отсутствия решений, исключаются из системы.

Как правило, системы уравнений математических моделей плановых экономических задач совместны и имеют бесчисленное множество решений.

Для решения такой системы выделяют базисные и свободные переменные и получают общее решение, в котором свободные переменные выступают как произвольные постоянные, а базисные - как функции обмена.

Определение. Решение основной задачи линейного программирования называется базисным, если все свободные переменные равны нулю, а базисные не отрицательны.

Если система ограничений представляет собой совокупность уравнений и неравенств или только неравенств, задача не является, канонической.

В этом случае все неравенства приводят к уравнениям, вводя новые (балансовые) переменные в каждое неравенство системы.

Балансовые переменные положительны, их экономический смысл в том, что в решении они показывают либо остатки ресурсов, либо избытки при данном оптимальном решении.

Пример. Пусть система ограничений представлена в виде неравенств:

Добавим в каждое из них по одной новой (балансовой) переменной. Получим каноническую задачу линейного программирования:

(у новой переменной ставим знак «+»,если в неравенстве был знак « », и наоборот, у новой переменной ставим знак «-»,если в неравенстве был знак « »)

Свойства основной задачи линейного программирования

Теорема 1. Множество всех допустимых решений задачи линейного программирования является выпуклым.

Доказательство. Как бы ни были заданы ограничения в задаче линейного программирования: равенствами или неравенствами, их графические изображения представляют собой выпуклые множества, так как их границы линейны, а пересечение выпуклых множеств есть выпуклое множество. Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если существует единственное решение задачи линейного программирования, то оно совпадает с одной из угловых точек множества допустимых решений.

Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению соответствует угловая точка области ограничений.

Теорема 4. Каждой угловой точке множества допустимых решений соответствует допустимое базисное решение.

Доказательства этих теорем вполне очевидны.

Задачи для самостоятельного решения

1. Привести задачи линейного программирования к канонической форме:

а) б)

2. Привести задачи линейного программирования 1-13 (задачи для самостоятельного решения из п. 2.1) к каноническому виду.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 12

Этот метод применяется для решения задач с двумя неизвестными. Тогда система ограничений может быть изображена на плоскости, а образом целевой функции является линия уровня плоскости - прямая. Линию уровня перемещают параллельно самой себе по области ограничений и отмечают точку «входа» в область и точку «выхода». Это и будут точки максимума и минимума целевой функции. Остается найти значение целевой функции в этих точках.

Возможны следующие случаи:

¾ область допустимых решений не ограничена, задача не имеет оптимального решения (рис. 14, а);

¾ линия уровня параллельна одной из границ, и если на этой границе достигается оптимум, задача имеет бесчисленное множество решений (рис. 14,6);

¾ система ограничений противоречива, тогда задача решений не имеет (рис. 14, в);

¾ задача имеет единственное решение, лежащее в вершине выпуклого многоугольника допустимых решений (рис. 14, г).

Пример 1. Решить графически задачу.

Решение. Построим на плоскости область, заданную системой ограничений, и линию уровня целевой функции (рис. 15).

Рисунок 14 – Области допустимых значений

Видим, что точки входа и выхода линии уровня (жирная прямая на рис. 15) - это точки О и А.Вточке О(0; 0) целевая функция принимает значение 0. В точке А пересекаются прямые и . Решив систему из этих уравнений, получим координаты точки: х1 = 40, х2= 20. Целевая функция принимает в точке А значение 140. Следовательно, это и есть наибольшее значение целевой функции при данных ограничениях.

Рисунок 15 – Решение примера 1

Пример 2. Найти максимум целевой функции

на системе ограничений:

Решение. Построим систему ограничений и линию уровня целевой функции (рис. 16). Линия уровня целевой функции параллельна границе (2). Поэтому крайние точки, в которых линия уровня касается области. Точка на оси ординат с координатами (0; 3) и граница (2).

F(0; 3) =-3, а в любой точке границы (2) F = 2, например, F(2; 0) = 2. Таким образом, задача имеет единственное оптимальное решение при отыскании максимума функции и бесчисленное множество оптимальных решений при отыскании минимума.

Рисунок 16 – Решение примера 2

Замечание. Если в задаче система ограничений содержит более двух неизвестных, то для ее решения графический способ применяют частично в зависимости от наиболее ценных неизвестных или попарно рассматривают варианты.

Задачи для самостоятельного решения

1. Изобразить области, соответствующие решениям систем неравенств и равенств, заданных условиями:

а) б) в)

2. Решить задачи, исходя из геометрической интерпретации задачи линейного программирования:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

3)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 13

Каждое оптимальное решение задач линейного программирования находится в угловой точке области ограничений. При малом количестве переменных и ограничений таких точек немного, и вполне возможно вручную найти координаты всех этих точек и подсчитать в них значение целевой функции.

Однако если в задаче будет 50 переменных и 20 ограничений, то угловых точек, в которых можно считать значение целевой функции, будет порядка 1014. И если время подсчета значения угловой функции в одной угловой точке будет 0,000001 с, то эту задачу придется решать 2 тыс. лет. Поэтому простой перебор оказывается неэффективным и необходим метод, с помощью которого за конечное число шагов можно прийти к оптимальному решению.

Любое базисное решение, с помощью которого переходят к наиболее оптимальному его варианту, называется опорным решением.

Основные этапы реализации симплекс-метода:

1) указывается способ приведения неканонической задачи к канонической;

2) указывается способ выбора любого опорного решения;

3) устанавливаются критерии оптимальности опорного решения;

4) приводится способ перехода от одного опорного решения к другому, более близкому к оптимальному.

Рассмотрим каноническую задачу линейного программирования для случая, когда значение целевой функции максимизируется:

С помощью элементарных преобразований систему можно привести к виду

В качестве базисных переменных выберем

И тогда базисное решение системы имеет вид

Итак,

Представим все результаты в виде симплекс-таблицы:

Базис Цена План
F

Последняя строка в таблице называется индексной строкой.

По индексной строке симплекс-таблицы можно определить, является ли данное решение оптимальным.

Теорема I. Критерий оптимальности плана.

Если в индексной строке симплекс-таблицы нет положительных элементов, то базисный план, соответствующий этой таблице, оптимален.

Доказательство. Действительно, при любых отрицательных и и положительных x значение функции F будет меньше .

Пусть теперь , и имеется какое-то другое допустимое решение, например:

Подставим его в целевую функцию:

Так как нашлось решение, дающее большее значение целевой функции, то при наших предположениях о знаке и решение не является оптимальным. Что и требовалось доказать

Теорема 2. Критерий улучшения опорного плана.

Если в индексной строке имеется хотя бы один положительный элемент и в столбце над ним также имеется хотя бы один положительный элемент, то базисный план может быть улучшен, т.е. можно найти такое базисное решение, при котором значение целевой функции будет больше.

Теорема 3. Критерий отсутствия оптимального плана.

Если в индексной строке симплекс-таблицы имеется положительное число, а в столбце над ним нет ни одного положительного элемента, то задача оптимального плана не имеет.

Аналогичные теоремы можно привести и для случая, когда целевая функция минимизируется.

Теорема 4. Если в индексной строке симплекс-таблицы нет отрицательных элементов, то базисный план оптимален.

Теорема 5. Если в индексной строке симплекс-таблицы имеется хотя бы одно отрицательное число, а в столбце над ним имеется хотя бы одно положительное, то базисный план может быть улучшен.

Теорема 6. Если в индексной строке симплекс-таблицы имеется отрицательное число, а в столбце над ним нет ни одного положительного элемента, то задача оптимального плана не имеет.

Замечание. Переход к новому базису осуществляется с помощью линейных операций над уравнениями системы.

Алгоритм симплекс-метода

1. Привести задачу линейного программирования к канонической, вводя балансовые переменные.

2. Занести данные математической модели в симплекс-таблицу.

2.1. Столбец коэффициентов для базисных переменных имеет вид базисных векторов пространства: одна координата равна 1, а остальные - нулевые.

2.2. Число базисных переменных должно совпадать с числом уравнений в системе ограничений.

2.3. Если в первоначальной таблице нет достаточного количества базисных переменных, над строками выполняются соответствующие элементарные преобразования.

3. Сделать анализ индексной строки:

3.1. Если в индексной строке имеются только отрицательные числа (только положительные) и нули, то данная таблица представляет собой оптимальный план решения задачи на максимум (на минимум): базисным переменным ставится в соответствие число из столбца «План», все остальные переменные обращаются в ноль.

3.2. Если в индексной строке имеется хотя бы одно положительное (отрицательное) число, а в столбце над ним найдется хотя бы один положительный элемент, то базисный план может быть улучшен. Улучшение производится путем перевода основных переменных в базисные с помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы системы.

3.3. Если в индексной строке имеется хотя бы одно положительное (отрицательное) число, а в столбце над ним нет ни одного положительного элемента, то задача оптимального решения не имеет.

Пример. Для изготовления шкафов и буфетов деревообрабатывающий завод использует древесину четырех видов.

Вид древесины Запас Количество древесины на единицу продукции
    Шкаф Буфет
Прибыль

В таблице указаны запасы древесины, технологические коэффициенты и прибыль от продажи одного буфета и шкафа.

Составить такой план выпуска изделий, при котором прибыль предприятия будет максимальной.

Решение. Пусть х1 - планируемое к выпуску количество шкафов; х2 -планируемое к выпуску количество буфетов. Составим математическую модель задачи:

Приведем задачу к канонической, введя балансовые переменные:

Заполним первую симплекс-таблицу. В базис отправлены балансовые переменные, так как их столбцы представляют собой единичные базисные векторы. В индексной строке имеется два положительных числа и над ними также есть положительные элементы. То есть, данный план может быть улучшен. Выберем наибольшее из положительных чисел в индексной строке и отметим его (это число 3). А в столбце над ним найдем такое число, для которого отношение плановой цифры к нему будет наименьшим (это число 4).

Б Ц П д
30(min)  
   
+I*(-1/2)
+I*(1/2)
F   3    

С помощью элементарных преобразований над строками превратим это число в 1, а остальные числа столбца - в 0 (столбец д). Получим вторую симплекс-таблицу.

Чтобы получить элементы индексной строки, подставим в целевую функцию новый базисный вектор:

. Заполняем и анализируем индексную строку.

Б Ц П д
1/4    
160:4=40  
-1/2 60:2=30 +IV*(-4)
-1/2 20:1=20 +IV*(-4)
F 2 -3/4    

Видим, что в индексной строке появилось отрицательное число (-3/4). Но еще остался положительный элемент (2). И в столбце над ним также имеются положительные числа. Следовательно, план может быть улучшен. Действуем по тому же алгоритму, что и в первый раз. Получим третью симплекс-таблицу:

Б Ц П д
1/4 +III*(1/2)
+III*(-4)
1/2
-1/2 +III
F 1/4 -2  

Отмечаем, что в индексной строке имеется положительное число, также и в столбце над ним есть положительные элементы. Преобразуем столбец по известному алгоритму.

Б Ц П д
-1/2 +III*(1/2)
-4 +III*(-4)
-4
-1 +III
F -1/2 -1  

В индексной строке только отрицательные числа и нули. Следовательно, план в данной таблице оптимален. Целевая функция будет принимать значение 140 при значениях переменных базисного столбца, равных соответствующим значениям столбца «План».

Проведем экономический анализ задачи. Подставим полученные значения переменных в систему ограничений;

Видим, что при плане изготовления 40 шкафов и 20 буфетов древесина II, III, IV видов будет использована полностью, а 40 единиц древесины I вида останется. Этот остаток и соответствует балансовой переменной

Замечание. Так как в задаче всего две основных переменных, она могла быть решена и графически (см. пример 1 п. 3.1).

Задачи линейного программирования могут иметь не единственное решение.

Теорема (о бесконечном множестве оптимальных планов)

Если в индексной строке симплекс-таблицы, содержащей оптимальный план, имеется хотя бы одна нулевая оценка, соответствующая свободной переменной, то задача линейного программирования имеет бесконечное множество оптимальных планов.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 14

Пусть некоторое предприятие имеет остатки k видов сырья, запасы которых . Из этого сырья можно изготовить п видов изделий. для которых известны технологические коэффициенты аij- и стоимость при реализации сj. Некий заказчик предлагает купить на предприятии это сырье, но в его интересах сделать расходы минимальными. Предприятие же должно получить максимальную прибыль от продажи сырья, не меньшую, чем оно смогло бы получить при организации собственного производства.

Построим две математические модели для этой ситуации, выражающие интересы предприятия и заказчика.

Пусть xj - количество единиц j-го вида продукции, тогда

(первая модель)

Пусть уi - стоимость единицы i-го вида ресурса, тогда предприятие сможет отказаться от организации производства по выпуску продукции, если будут выполняться неравенства системы ограничений:

(вторая модель)

Величина уi - это двойственные оценки или объективно обусловленные оценки, или теневые цены.

Обе указанные модели называются парой симметричных взаимно двойственных задач.

Особенности пары двойственных задач:

1. Любая из этих задач называется основной, а вторая - двойственной к ней.

2. Если в основной задаче целевая функция максимизируется, то в двойственной к ней - минимизируется, и наоборот.

3. Если в основной задаче все неравенства имеют знак , то в двойственной к ней - знак , и наоборот.

4. Если в основной задаче коэффициенты bi, входят в систему ограничений, а сj- влинейную формулу, то в двойственной к ней задаче - наоборот.

5. Матрица коэффициентов системы ограничений в основной задаче имеет вид

а в двойственной к ней задаче эта матрица транспонирована:

Двойственная задача - это тесно связанная пара задач. Из решения одной задачи по определенным правилам следует решение другой.

Замечание 1. Если в системе ограничений основной задачи имеются неравенства противоположных смыслов, то все неравенства приводятся к неравенствам одного смысла.

Замечание 2. Если целевая функция максимизируется, все неравенства должны иметь знак , и наоборот, если целевая функция минимизируется, то все неравенства должны иметь знак . Если в системе ограничений встречаются неравенства противоположного смысла, то их нужно умножить на (-1).

Замечание 3. Если в системе ограничений имеется уравнение

то оно легко превращается в два неравенства противоположного смысла, т.е. в систему:

Пример. Дана задача. Пусть хj - количество единиц продукции j -го вида.

Составим двойственную задачу.

Пусть уi - стоимость единицы i-го вида ресурса. Тогда покупатель должен заплатить согласно формуле

при условии, что он должен заплатить за единицу каждого вида теоретически произведенной продукции:

Двойственная пара задач составлена.

Основные теоремы двойственности

Теорема 1. Для любых допустимых планов двойственной задачи справедливо неравенство F(x) Ф(у).

Теорема 2 (критерий оптимальности Канторовича).

Если для некоторых допустимых планов X, Y двойственной задачи выполняется равенство F(х) = Ф(у), то эти планы являются оптимальными для своих задач.

Теорема 3. Для существования оптимального плана двойственной пары задач необходимо и достаточно существование допустимого решения для каждой задачи из пары.

Теорема 4. Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая задача тоже имеет оптимальное решение. Причем F(Х’) = Ф (Y’). Если же в одной из задач целевая функция неограниченно возрастает или убывает, то система ограничений в парной задаче противоречива.

Кол-во производимой продукции Остатки ресурсов
Плата за ресурсы, потраченные на теоретически произведенную продукцию Плата за остатки ресурсов

Сравнивая симплекс-таблицы для каждой из пары двойственных задач, можно отметить, что коэффициенты в индексной строке основной задачи являются значениями базисных переменных в парной к ней задаче, но только с противоположными знаками.

Если оптимальное решение существует, то в окончательном виде симплекс-таблицы в основной своей части будут иметь транспонированные матрицы, а числа в графах «План» и «Индексная строка» будут одинаковы по абсолютной величине с точностью до 90°, т.е. план основной задачи - индексная строка парной, индексная строка основной задачи - план двойственной.

Практический вывод.

Для решения двойственной задачи достаточно решить одну из задач и по соответствию переменных x1, x2, …, xn. Найти решение второй задачи. Оптимальные значения целевых функций будут совпадать.

Пример. Пусть решая задачу мы получили следующую симплекс-таблицу:

Б Ц П x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x4 5/12 -1/6 1/2 -1/24
x3 1/3 5/3 1/6
x7 -1/12 -19/6 -1/8 -7/24
F -5 -10 -15 -5

Составим схему соответствия переменных основной и двойственной к ней задач:

По индексной строке симплекс – таблицы определяем, что

,

0.

То есть оптимальное решение двойственной задачи имеет вид Y’ = (15; 5; 0; 5; 10; 0; 0) и оптимальное значение целевой функции

Ф(У’)=84000.

Значения у1=15, у2=5, у3=0 представляют собой стоимостные оценки трудовых ресурсов, муки и работы электропечей. Это означает, что при оптимальном плане оценка ресурсов, затраченных на выпуск продукции, совпадает с оценкой произведенной продукции. Или, иначе, двойственные оценки гарантируют рентабельность оптимального плана.

Теорема 5 (об оценках).

Двойственные оценки у, показывают приращение функции цели , вызванное малым изменением свободных членов системы ограничений основной задачи.

Учитывая эту теорему, можно теперь определить, какие из ресурсов задачи являются более дефицитными. Итак, у* =(15; 5; 0; 5; 10;0;0):

Пусть b1, (трудовые ресурсы) прирастет на единицу, тогда

.

Если b2 (мука) прирастет на единицу, тогда .

Если b3 (время работы печей) прирастет на единицу, тогда

.

Стоимостная оценка работы электропечей у3 = 0 показывает, что этот ресурс на предприятии в избытке. А положительные оценки у1= 15 и у2 = 5 говорят о дефицитности этих ресурсов, причем трудовые ресурсы оказываются в большем дефиците по сравнению с таким ресурсом, как мука. И в этой ситуации следует принять еще рабочих, чтобы увеличить выручку.

Таким образом, оптимальные двойственные задачи показывают:

1) какие виды продукции выгодно изготавливать предприятию;

2) какие виды ресурсов являются дефицитными.

Замечание. Рассмотренные нами двойственные задачи являются стандартными (идеальными). Если же в системе ограничений будут содержаться и неравенства разного смысла и уравнения, то экономический анализ становится более сложным и требует применения и разработки специальных, более сложных методов.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 15

Транспортная задача, в отличие от двух предыдущих, содержит гораздо большее число переменных и ограничений. Такую задачу можно также решать симплекс-методом, но его реализация будет очень громоздкой. Поэтому разработаны специальные методы решения транспортной задачи.

Определение 1. Если суммарное количество грузов, имеющихся у поставщиков, совпадает с суммарным количеством грузов, необходимых потребителям, то такая транспортная задача называется закрытой. Если эти объемы не совпадают - транспортная задача называется открытой.

Методы решения разработаны для закрытых транспортных задач. В случае, если транспортная задача открытая, ее сводят к закрытой в зависимости от ситуации: добавляют либо «ложных поставщиков», если

либо «ложных потребителей», если

Кроме того, выделяют транспортные задачи с дополнительными условиями, в которых описывается требование потребителей поставщикам или наоборот.

Методы решения транспортных задач также реализуются с помощью таблиц.

Для построения первоначального опорного плана существуют различные методы.

1. Метод северо-западного угла.

Таблица, в которую внесены все данные задачи, заполняется с левого верхнего угла (северо-запад) таким образом, чтобы от первого поставщика были вывезены все грузы, а первый потребитель был полностью удовлетворен, и далее на юго-восток.

Пример. Поставщики имеют: А1 - 100 ед. груза, А2 – 250, А3 – 200,

А4- 300. Потребители запрашивают: В1 - 200 ед. груза, В2 – 200, В3 – 100, В4 – 100, В5 - 250.

Матрица стоимостей имеет вид

Составить первоначальный опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла.

Проверим суммы грузов поставщиков и потребителей:

100 + 250 + 200 + 300 = 850

200 + 200 + 100 + 100 + 250 = 850.

Следовательно, транспортная задача закрытая. Составляем таблицу:

В клетку А1В1 проставляем данные (все, что есть у А1). Другим потребителям от него ничего не достанется, в остальных клетках первой строки ставим прочерки. Так как В1 запрашивает 200 единиц, добавляем ему 100 ед.груза от второго поставщика, у которого после этого остается еще 150 единиц. Остаток мы полностью отгружаем второму потребителю. И так далее по всей таблице.

Рекомендация. После полной загрузки таблицы проверьте суммы грузов по строкам и столбцам. Если суммы совпадут со значениями грузов у поставщиков и потребителей, то таблица составлена верно.

Определим стоимость перевозок по нашему плану:

2. Метод минимальной стоимости.

Он состоит в последовательном полном удовлетворении потребителей при наименьшей стоимости перевозок. Для той же задачи имеем:

Определим стоимость перевозок:

По сравнению с методом северо-западного угла получили меньшую стоимость перевозок.

3. Метод двойного предпочтения.

В каждой строке выбирается клетка с наименьшей стоимостью и отмечается галочкой, затем в каждом столбце выбирается клетка с наименьшей стоимостью и отмечается галочкой. В результате в таблице появляются клетки с двумя галочками, с одной из них и без галочек.

Сначала загружаются клетки с двумя галочками. Если их несколько, то загрузка начинается с клетки с наименьшей стоимостью. Затем загружаются клетки с одной галочкой, начиная с клетки с наименьшей стоимостью. Далее – пустые клетки.

Для той же задачи получим таблицу:

Определим стоимость перевозок по этому плану:

Иногда опорный план, построенный по методу двойного предпочтения, совпадает с опорным планом других методов, но теоретически он ближе к оптимальному плану, поэтому начинать решение транспортной задачи предпочитают третьим методом.

Однако первоначальный опорный план не обязательно должен быть оптимальным, то есть могут существовать и другие планы перевозок, суммарная стоимость которых меньше.

Условия оптимальности плана транспортной задачи

Теорема 1. Ранг матрицы транспортной задачи на единицу меньше числа уравнений.

Из этой теоремы следует, что транспортная задача всегда имеет множество решений. Но цель решающего задачу - найти из них оптимальное.

Определение. План транспортной задачи называется невырожденным, если количество заполненных клеток равно k + п - 1, где k - количество поставщиков; п - количество потребителей. План называется вырожденным, если число заполненных клеток меньше, чем k + п - 1.

Если план является вырожденным, то его дополняют условно заполненной клеткой, вписывая в нее груз в объеме нуль единиц.

Теорема 2 (условие оптимальности плана транспортной задачи).

Для того чтобы план транспортной задачи был оптимальным, необходимо и достаточно выполнить следующие условия:

- для занятых клеток

- для свободных клеток

где , — переменные задачи двойственной данной.

Коэффициент называют потенциалом поставщика, а ~. потенциалом потребителя.

Построение системы потенциалов и проверка плана на оптимальность.

Пусть в закрытой транспортной задаче построен первоначальный опорный план. Прежде чем проверить его на оптимальность, необходимо найти числовые значения всех потенциалов и . Так как количество потенциалов равно сумме количества, как поставщиков, так и потребителей (n + k), а занятых клеток n + k - 1, то система ограничений для потенциалов, представленная в виде уравнений, имеет бесчисленное множество решений. Поэтому одному из потенциалов придают любое числовое значение. Затем, используя соотношение + = для всех занятых клеток, поочередно находят значения для всех остальных потенциалов.

Рекомендуется присваивать значение нуль тому потенциалу, для которого в соответствующей строке или в столбце имеется наибольшее количество занятых клеток.

Пример. Рассмотрим опорный план для транспортной задачи п. 5, построенный по методу двойного предпочтения, и проверим его на оптимальность.

Условий у нас 9, а заполненных клеток – 7. Следовательно, план является вырожденным.

Пусть потенциал U2 будет равен 0. Тогда потенциал V1 = U2+ С21 = 0 +2 = 2, а потенциал V3= U2 + c23 = 0 + 10 = 10.

От потенциала V3 перейдем к потенциалу U4, исходя из уравнения

V3 = U4 + c43. Получим 10 = U4 + 12, или U4 = -2. От этого потенциала перейдем к V5 = 11 и V2 = 6. Потенциал V5 дает возможность вычислить U3 = 9.

На этом процесс остановился в силу вырожденности задачи. Чтобы найти остальные потенциалы, необходимо заполнить нулем клетку, первой строки или четвертого столбца. Пусть это будет клетка с наименьшей стоимостью перевозок - 2. Тогда от U3 = 9 переходим к V4 =9 + 2 = 11, а от него к U1= 10.

Система потенциалов построена.

Теперь проверим план на оптимальность. Для этого в каждой пустой клетке проверим выполнение условия . В тех клетках, где условие выполняется, поставим знак < , где не выполняется, поставим знак > и отметим, на сколько потенциал потребителя больше суммы потенциала поставщика и стоимости .

Отмечаем в клетке A2B4 нарушение условия оптимальности. Это значит, что план не является оптимальным. Нужно перераспределить поставки, чтобы стоимость перевозок оказалась меньше, чем в данном плане.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 16

Перераспределение поставок осуществляется по так называемым циклам.

Цикл - это замкнутый путь движения грузов по горизонтали и вертикали. Точка (клетка) смены направления называется вершиной цикла. Все вершины цикла, кроме той, в которую перевозится груз, являются занятыми клетками. Если задача невырожденная, то для каждой незанятой клетки цикл можно построить единственным образом.

Виды циклов представлены на рис. 14.

В цикле только четное количество вершин.

Построение цикла осуществляется в определенной последовательности.

Клетка, с которой начинается построение, отмечается знаком «+», следующая за ней — знаком «-», затем «+» и так далее поочередно.

Знак «+» означает, что в эти клетки груз будет привезен. Знак «-» показывает, что из этих клеток груз будет вывезен. Так как объем грузов в целом в таблице не изменится, то по циклу «перевозят» груз одного объема. Какой объем груза вывезут из клеток со знаком «-», такой и привезут в клетки со знаком «+». Перевозят по циклу груз в объеме min{xij}, где минимум берется по всем клеткам цикла со знаком «-».

Далее вновь строится таблица с новым распределением поставок, и алгоритм построения потенциалов и проверка на оптимальность повторяются.

В нашей таблице цикл имеет следующий вид:

В вершинах цикла со знаком «-» находятся грузы в 50, 50 и 0 единиц. Поэтому перевозят 0 единиц груза по циклу. (Очевидно, мы не совсем удачно выбрали клетку для нулевой загрузки.)

После перевозки грузов объемом в 0 единиц получим новую таблицу и снова построим систему потенциалов. Загрузим клетку

A2B4 грузом в 0 единиц и потенциалу U2 дадим значение 0. Получим по известному алгоритму значения всех других потенциалов.

Проверяя план на оптимальность, видим, что нарушение наблюдается в клетках А1В3, А1В5. Причем в клетке А1В5 нарушение больше. Поэтому данную клетку выбираем за начало построения цикла.

Строим цикл с вершинами в клетках А1В5, А4В5, А4B3, А2В3, А2В4 и А1В4.

В вершинах со знаком «-» находятся грузы в 100, 50 и 50 единиц. Перевезем по циклу груз в 50 единиц в клетки со знаком «+» и вывезем этот же объем из клеток со знаком «-».

Получим новую таблицу и найдем значения потенциалов для нового плана. Оставим ложно заполненной клетку А4B5.

Проверка на оптимальность показывает, что данный план перевозок минимален по стоимости.

Далее планируем следующие перевозки:

Стоимость перевозок составит:

Таким образом, мы улучшили первоначальный план перевозок, построенный по методу двойного предпочтения.

Замечание 1. Если при проверке оптимальности появляются равенства, это означает, что данный оптимальный план перевозок не единственный.

Замечание 2. При построении новых планов перевозок необходимо следить за тем, чтобы количество клеток с нарушением оптимальности на каждом шаге уменьшалось и (или) разница , становилась все меньше.

Замечание 3. После построения каждого нового плана перевозок необходимо вычислять их стоимость и отслеживать процесс уменьшения этой стоимости с каждым шагом, что означает: движение к оптимальному решению выбрано верно. Если же стоимость перевозок увеличилась, в вычислениях были сделаны ошибки.

Замечание 4. Первоначальный опорный план рекомендуется строить методом двойного предпочтения.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 17

Если условие не выполняется, то такая транспортная задача называется открытой. Ее «закрывают», вводя ложных поставщика или потребителя, и затем решают закрытую транспортную задачу. В результате делают заключение о недопоставках грузов конкретным потребителям или остатках грузов у конкретных поставщиков.

Пример 1. Поставщики Аi имеют грузы в 100, 400, 100, 100 единиц. Потребители Вj запрашивают грузы в 50, 100. 150, 200. 250 единиц. Матрица стоимости перевозок имеет вид

Составить оптимальный план перевозок с наименьшей общей стоимостью.

Решение. Найдем суммы грузов у поставщиков и потребителей.

700 ед.; 750 ед. Следовательно, задача открытая. Разность в суммах грузов 50 ед. Вводим ложного поставщика, у которого как бы имеется 50 единиц недостающих грузов, а стоимость перевозок от него предполагаем равной нулю.

Первоначальный опорный план строим по методу двойного предпочтения. Затем находим значения потенциалов и проверяем план на оптимальность.

Оптимальность нарушается в клетке А3В5. Строим цикл и «перевозим» 100 единиц груза по данному циклу. Получаем следующий опорный план:

В этой таблице условия оптимальности по всем клеткам выполнены, поэтому данный план можно считать оптимальным.

К сожалению, пятому потребителю мы пока не имеем возможности доставить 50 единиц груза.

Стоимость перевозок по данному плану 5 450 у.д.е.

В группу открытых транспортных задач входят задачи с дополнительными условиями. Эти условия в реальной практике появляются при наличии определенных традиций, договорных обязательств, личных отношений. В экономическую модель вносится требование либо полностью разгрузить определенных поставщиков, либо полностью удовлетворить всех потребителей.

Пример 2. Поставщики Аi, имеют грузы в 74, 40, 36 единиц. Потребители Вj, запрашивают 20, 45, 30 единиц соответственно. Матрица стоимостей перевозок имеет вид:

Составить оптимальный план перевозок при условии обязательного вывоза всего груза от второго поставщика.

Решение. 150 ед.; 95. Следовательно, задача является открытой. Вводим «фиктивного потребителя» на лишний груз B5. Обязательное требование задачи будет учтено, если мы исключим из рассмотрения клетку А2В5.

Строим таблицу и проверяем план на оптимальность.

Данный план перевозок является оптимальным. У первого поставщика останется 29 условных единиц груза, у третьего - 26. Стоимость перевозок равна 245 у.д.е.

Пример 3. У поставщиков имеются грузы в объемах 46, 34, 30 ед. Потребители запрашивают 40, 35, 30, 45 единиц соответственно. Найти оптимальный план перевозок при условии, что первый пункт потребления должен быть удовлетворен полностью. Матрица стоимостей перевозок имеет вид

Решение. 120 ед.; 150. Следовательно, задача открытая. Лишние грузы запрашивает потребитель. Поэтому вводим «фиктивного поставщика» с запасом грузов 150 - 120 = 30 и стоимостью перевозок 0.

Строим таблицу, выводя из процесса загрузки клетку А4B1 и учитывая, что первый потребитель должен получить весь запрашиваемый груз.

По методу двойного предпочтения строим первоначальный опорный план и систему потенциалов, начиная с U2. Видим, что условие оптимальности нарушено в клетке А2В2. Строим цикл и «перевозим» по нему 19 ед. груза.

После перевозки получаем следующую таблицу и повторяем алгоритм построения системы потенциалов и проверки плана на оптимальность.

Данный план оптимален. Стоимость перевозок поэтому плану 277 у.д.е. Недопоставки четвертому потребителю составляют 30 единиц груза.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 18

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб.пособие. – М.: Высш.шк., 1986. – 319с.

2. Апанасов П. Т., Орлов М. И. Сборник задач по математике: Учеб. пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1987. – 303 с.

3. Богомолов Н. В. Математика: учеб. для ссузов. – М.: Дрофа, 2006. – 395с.

4. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие. – М.: Наука., 1990 – 547 с.

5. Валуцэ И. И., Дилигул Г. Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие. – 2-е изд. – М.: Наука., 1990 – 576 с.

6. Говоров В. М. Сборник конкурсных задач по математике. – М.: ООО «Мир и образование», 2003. – 480 с.

7. Дадаян А. А. Математика: Учебник. – М.: Форум: ИНФРА, 2005. – 552 с.

8. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: Учеб. пособие для студентов высш. техн. Учеб. заведений / под редакцией Б. П. Демидовича. – М.: ООО «Издательство Астрель», 2002 – 495 с.

9. Математика. Математическое программирование: Учебное пособие/ О.Г.Ларионова, Е.В.Лищук, С.В. Акульшина. – Братск: ГОУ ВПО «БрГУ», 2005. – 123с.

10. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2ч.]. Ч.1. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 288с.

11. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2ч.]. Ч.2. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 288с.

12. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов / Кремер Н. Ш., Тришин И. М., Путко Б. А. и др.; Под. ред. проф. Н. Ш. Кремера. – И.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 432 с.

13. Шипачев В. С. Математический анализ. Теория и практика: учеб. пособие для вузов. – М.: М, 2006. – 349с.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Page 19

ПО ДИСЦИПЛИНЕМатематика

Группы ТД, АК 5 курс

№ п/п НАИМЕНОВАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ ВОПРОСЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ
Элементы линейной алгебры 1.1. Определение матрицы. Виды матриц. 1.2. Операции над матрицами (Транспонирование, сложение, умножение на число, произведение двух матриц). 1.3. Определители и миноры матриц, алгебраическое дополнение элемента матрицы. 1.4. Определение обратной матрицы, алгоритм нахождения её нахождения. 1.5. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы. 1.6. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. 1.7. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
Элементы аналитической геометрии 2.1. Векторы и координаты. Формулы нахождения длины вектора. Действия над векторами в координатах. 2.2. Скалярное произведение векторов. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов. 2.3. Формула для вычисления угла между векторами. 2.4. Векторное произведение векторов. Применение векторного произведения для решения задач векторной теории. 2.5. Смешанное произведение векторов. Применение смешанного произведения для решения задач векторной теории. 2.6. Уравнения прямой на плоскости (векторное, каноническое, в отрезках, проходящей через две точки) 2.7. Пересечение двух прямых. 2.8. Расстояние от точки до прямой. 2.9. Условие перпендикулярности прямых. 2.10. Угол между двумя прямыми. 2.11. Параллельность прямых. 2.12. Графический метод решения систем линейных неравенств.
Линейное программирование 3.1. Основные понятия и определения математического программирования. 3.2. Линейное программирование. Составление математических моделей задач линейного программирования. 3.3. Графический метод решения задач линейного программирования. 3.4. Симплексный метод решения задач линейного программирования. 3.5. Двойственность в линейном программировании (общие понятия и определения). 3.6. Транспортная задача. Математическая модель транспортной задачи. 3.7. Построение исходного опорного плана транспортной задачи методом «северо-западного угла». 3.8. Метод минимальной стоимости при построении исходного опорного плана транспортной задачи. 3.9. Построение исходного опорного плана транспортной задачи методом двойного предпочтения. 3.10. Метод потенциалов в транспортной задаче.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

studopedia.ru

Действия с матрицами

Высшая математика:

Математика для заочников Математические формулы,таблицы и справочные

материалы

Книги по математике Математические сайты >>> Удобный калькулятор

Не нашлось нужной задачи? Сборники готовых решений!

Не получается пример? Задайте вопрос на форуме!>>> mathprofi.com   

Учимся решать:

  Карта сайта

Отблагодарить автора >>>

Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом

Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга

Поставьте нашу кнопку:

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>>.

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Начнем.

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов: Все числа (элементы) внутри матрицы  существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки: и три столбца:

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например:  – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец  или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки  записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение:  и  – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак: У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

Пример:

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

 – умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО: Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если   – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.  

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

Пример:

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы.

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:

Транспонировать матрицу

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

 – транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом  или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример:

Транспонировать матрицу

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное. НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:

Сложить матрицы  и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Пример:

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

 

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц.

Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу   можно было умножить на матрицу  нужно, чтобы число столбцов матрицы  равнялось числу строк матрицы .

Пример: Можно ли умножить матрицу  на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так. Например, для матриц,  и  возможно как умножение , так и умножение

Как умножить матрицы?

Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

Начнем с самого простого:

Пример:

Умножить матрицу  на матрицу Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:

 – попытайтесь сразу уловить закономерность.

Пример сложнее:

Умножить матрицу  на матрицу

Формула:

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение  (правильный ответ ).

Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

Таким образом, при умножении переставлять матрицы нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу  на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу  на матрицу

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

Умножьте матрицу  на матрицу

Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

6) Действие шестое. Нахождение обратной матрицы.

Данная тема достаточно обширна, и я вынес этот пункт на отдельную страницу.

А пока спектакль закончен.

После освоения начального уровня рекомендую отработать действия с матрицами на уроке Свойства операций над матрицами. Матричные выражения.

Желаю успехов!

Автор: Емелин Александр

 

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com

 4  1  -7  - квадратная матрица размера 3×3
 -1  0  2 
 4  6  7 

Определение.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю, т.е. aij = 0, ∀i, j.

Пример.

 0  0  0  - нулевая матрица
 0  0  0 

Определение.

Вектор-строкой называется матрица, состоящая из одной строки.

Пример.

Определение.

Вектор-столбцом называется матрица, состоящая из одного столбца.

Пример.

Определение.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Пример диагональной матрицы.

 4  0  0  - диагональные элементы произвольныене диагональные элементы равны нулю
 0  5  0 
 0  0  0 

Определение.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1.

Обозначение.

Единичную матрицу обычно обозначают символом E.

Пример единичной матрицы.

E =  1  0  0  - диагональные элементы равны 1не диагональные элементы равны нулю
 0  1  0 
 0  0  1 

Определение.

Верхней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой ниже главной диагонали равны нулю.

Пример верхней треугольной матрицы.

Определение.

Нижней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой выше главной диагонали равны нулю.

Пример нижней треугольной матрицы.

N.B. Диагональная матрица - матрица, которая одновременно является верхней треугольной и нижней треугольной.

Определение.

Ступенчатой матрицей называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:
  • если матрица содержит нулевую строку, то все строки, расположенные под нею, также нулевые;
  • если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером i, и следующая строка не нулевая, то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем i.

Примеры ступенчатых матриц.

 7  0  8  8  8 
 0  0  1  3  5 
 0  0  0  -3  5 
 0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0 

ru.onlinemschool.com

Матрицы в математике, основные понятия и определения

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

При этом говорят, что эта матрица имеет размер .

Способы обозначения матриц

Матрицы обозначают:

  • круглыми скобками или двойными вертикальными линиями
  •    

    или

       

  • большими буквами
  • сокращенно или

Виды матриц

В зависимости от размера матрицы, вида и размещения элементов выделяют такие виды матриц:

  • если число строк и столбцов в матрице совпадает и равно то такая матрица называется квадратной порядка ;
  •    

  • если число строк не совпадает с числом столбцов, то матрица называется прямоугольной;
  •    

  • если матрица состоит из одной строки, то её называют вектор-строка;
  •    

  • если матрица состоит из одного столбца, то её называют вектор-столбец;
  •    

  • матрицу размером называют скаляром;
  •    

  • если все элементы квадратной матрицы, кроме элементов стоящих на главной диагонали, равны нулю, то такая матрица называется диагональной:
  •    

  • диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали – единицы, называется единичной и обозначается буквой
  •    

  • если все элементы матрицы нули, то её называют нулевой матрицей;
  • квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю, называется треугольной. Если нули расположены ниже главной диагонали, то матрица верхнетреугольная, а если выше – нижнетреугольная.

Равные матрицы

Две матрицы и равны, если

  1. обе они имеют одинаковый размер;
  2. их соответствующие элементы равны.
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com


Смотрите также